フーリエ変換、高速フーリエ変換(FFT)とは

・In English

■フーリエ級数

周期的な信号ならば、どんな信号でも三角関数(sin , cos)を使って表現することができ、その時の関数をフーリエ級数といいます。式は以下のとおり。

■複素フーリエ級数

フーリエ級数は三角関数よりも複素数の指数関数を使った方が便利な場合があります。オイラーの公式より、



これを(1)式に代入すると、

■フーリエ変換(Fourier Transform:FT)

フーリエ級数が周期関数を扱うものに対して、フーリエ変換は非周期関数の周波数成分を表現したものとなります。 考え方は、非周期関数においても周期が無限大として扱ってしまえば、周期関数として扱えるという考えのものです。 式は以下のとおり。

■離散フーリエ変換(Discrete Fourier Transform:DFT)

実信号データをコンピュータなどに取り込む場合には信号が離散化されているので、上記で説明したフーリエ変換が使えません。 そこで離散化された信号をフーリエ変換する場合の手法が離散フーリエ変換となります。離散フーリエ変換の中でも、 演算を高速に行う手法を高速フーリエ変換(Fast Fourier Transform:FFT)といい、DFTと言えばFFTの事を指すことが多い気がします。 高速フーリエ変換の制約としては、データ個数が2のn乗個である必要があります(例えば128,256,512個など)。高速フーリエ変換の式は以下のとおり。



高速フーリエ変換後のイメージは以下。この様に時系列データに対してどの周波数成分が入っているかを解析する手法を、周波数分析またはスペクトル解析といいます。 具体例はこちらで説明。

サブチャンネルあります。⇒ 何かのお役に立てればと

関連記事一覧 トップメニュー 数学 微分積分 ・微分公式 ・偏微分 ・数値微分 ・部分積分 ・微分方程式 ・ガウス関数の積分公式 複素数 ・複素数とは ・複素数を使う意味 フーリエ変換 ・フーリエ変換, FFTとは ・FFTの原理 ラプラス変換 ・ラプラス変換とは ・ラプラス変換の役割 線形代数 ・行列を使う目的, 定義 ・逆行列 , 行列式 ・行列の積 ・転置行列 ・行列の微分 ・固有値 ・ベクトルの内積 ・ベクトルの外積 ・ベクトル場 ・コサイン類似度 ・集合 ・写像 ・連立方程式を解く 指数　対数 ・対数関数 ・指数関数 , べき関数 ・デシベル ・ネイピア数 その他 ・三角関数 ・素数 ・階乗計算, ガンマ関数 ・arctan ,tanhの違い ・総和 Σ, 総乗 Π ・∇, grad, div, rot ・等差数列 ・有理関数のマクローリン展開 ・ニュートン法 ・重心 ・2乗に比例する関数 ・ラグランジュの未定乗数法 ・マンハッタン,ユークリッド ・帰納法, 演繹法 ・背理法 ・弧度法 ・スプライン曲線 ・フィボナッチ数列 ・複利計算 ・| (バーティカルバー)