べき乗則　べき関数　指数関数

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前提知識
　・対数関数

■指数とは

指数は以下の様に定義されます。

■べき乗,べき関数とは

べき乗(べき関数)とは、指数関数の一種で以下式で表します。底が変数で、指数が定数となります。 べき乗と似た言葉に累乗がありますが、累乗はべき乗の中でも指数が自然数のみを扱う場合をいいます。



k=-1の時は反比例、K=1の時は正比例の形となります。

＜べき乗則とは＞
べき乗即とは統計モデルの一つで、上記式のk<0かつx>0の特性を確率分布で表す事ができます。減衰していく部分をロングテールといいます。

■指数関数とは

指数関数とは以下式で表します。底が定数で、指数が変数となります。 べき関数との比較を表しております(赤線が指数関数)が、指数関数の方がxの値に応じて収束、発散するのが早いです。



k=e(ネイピア数 , 自然対数の底)としたときの関数はよく使われます。以下のとおり。



以下はシグモイド関数といいニューラルネットワークなどに使用されます。その他にはtanh関数などもあります。

■べき関数、指数関数を対数で表現する

これらの関数の特徴は、べき関数はx軸とy軸を対数軸、指数関数はy軸だけを対数軸で表現すると以下の様に線形の特性を示します。 この性質を利用すると、ある特性を持ったデータがべき関数/指数関数に従っているか否かを、対数グラフで直線に乗っているか見る事で判断できます。



直線で表すことができる理由は以下のとおり、それぞれの関数を対数をとると解ります。

＜スケール不変＞

べき数において、aを変えた時の特性を比較したものを以下に示します。aが異なっても傾きが同じになっており、 これは値の絶対値が異なっても減衰度合いが同じことを意味します。これをスケール不変といいます。

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