微分積分
・ 微分公式
・ 偏微分
・ 数値微分
・ 部分積分
・ 微分方程式
・ ガウス関数の積分公式
複素数
・ 複素数とは
・ 複素数を使う意味
フーリエ変換
・ フーリエ変換, FFTとは
・ FFTの原理
ラプラス変換
・ ラプラス変換とは
・ ラプラス変換の役割
線形代数
・ 行列を使う目的, 定義
・ 逆行列 , 行列式
・ 行列の積
・ 転置行列
・ 行列の微分
・ 固有値
・ ベクトルの内積
・ ベクトルの外積
・ ベクトル場
・ コサイン類似度
・ 集合
・ 写像
・ 連立方程式を解く
指数 対数
・ 対数関数
・ 指数関数 , べき関数
・ デシベル
・ ネイピア数
その他
・ 三角関数
・ 素数
・ 階乗計算, ガンマ関数
・ arctan ,tanhの違い
・ 総和 Σ, 総乗 Π
・ ∇, grad, div, rot
・ 等差数列
・ 有理関数のマクローリン展開
・ ニュートン法
・ 重心
・ 2乗に比例する関数
・ ラグランジュの未定乗数法
・ マンハッタン,ユークリッド
・ 帰納法, 演繹法
・ 背理法
・ 弧度法
・ スプライン曲線
・ フィボナッチ数列
・ 複利計算
・ | (バーティカルバー)
|
公開日:2018/5/1 , 最終更新日:2018/6/23
|
前提知識
■ニュートン法とは
例えば以下関数があったとします。
この式のy=0になる場合のxの値は以下となります。
この√2という値は、解として求まったかのように思われますが、まだきちんとした数値にはなっていません。1.41421と知っている人は多いかと思いますが、これはただ単に暗記していたにすぎません。
数学的に考えると√1と√4の間、すなわち1と2の間にある事は解ります。このf=0の解(今回の場合は√2の解)を近似的に求める手法をニュートン法といいます。
■ニュートン法の考え方
任意のx1におけるf(x1)の接線のx軸との交点x2は、x1よりf(x)=0の解に近くなる。
というものです。どういうことか、以下の図を見るとわかると思います。この様に、次はf(x2)の接線のx軸の交点を求めて、
それを繰り返すことによりf(x)=0の解に近づけることが出来ます。
■ニュートン法を一般解で表現する
f(x1)の接線の式はf(x1)の微分となるので、
となります。
■具体例
上記式における解をニュートン法を用いて求めてみます。(1)式より、
ここでxnの値を適当に決めるとして、xn=2とします。(1)(3)を(2)に代入して、
これを繰り返し計算すると、
となり、繰り返し計算すればするほど真値に近づくのが解ります。
■ニュートン法の応用
<応用①>
f(x)=0のxの解だけではなく、f(x)=1の時のようなxの値も求めることが出来ます。式を以下の様にします。
上記式においてf(x)=0の解を求めれば良いです。そこからは先ほど説明したニュートン法のとおりです。
<応用②>
以下の様な変曲点の値を求めたい場合は、微分した結果のf'(x)=0をニュートン法で解けば求まります。
<応用③>
式の形が解らなくても、入力を与えた時の出力結果が解れば、微小な変化幅の2点の入力を与えた結果から接線の傾きを求めることが出来ます。
具体的に計算してみます。
となり、先ほど求めた結果とほぼ等しくなることが分かります。
サブチャンネルあります。⇒ 何かのお役に立てればと
微分積分
・ 微分公式
・ 偏微分
・ 数値微分
・ 部分積分
・ 微分方程式
・ ガウス関数の積分公式
複素数
・ 複素数とは
・ 複素数を使う意味
フーリエ変換
・ フーリエ変換, FFTとは
・ FFTの原理
ラプラス変換
・ ラプラス変換とは
・ ラプラス変換の役割
線形代数
・ 行列を使う目的, 定義
・ 逆行列 , 行列式
・ 行列の積
・ 転置行列
・ 行列の微分
・ 固有値
・ ベクトルの内積
・ ベクトルの外積
・ ベクトル場
・ コサイン類似度
・ 集合
・ 写像
・ 連立方程式を解く
指数 対数
・ 対数関数
・ 指数関数 , べき関数
・ デシベル
・ ネイピア数
その他
・ 三角関数
・ 素数
・ 階乗計算, ガンマ関数
・ arctan ,tanhの違い
・ 総和 Σ, 総乗 Π
・ ∇, grad, div, rot
・ 等差数列
・ 有理関数のマクローリン展開
・ ニュートン法
・ 重心
・ 2乗に比例する関数
・ ラグランジュの未定乗数法
・ マンハッタン,ユークリッド
・ 帰納法, 演繹法
・ 背理法
・ 弧度法
・ スプライン曲線
・ フィボナッチ数列
・ 複利計算
・ | (バーティカルバー)
|
|
|