逐次ベイズ推定、ベイズ更新とは


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最終更新日:2018/1/22          

前提知識
 ・ベイズの定理
 ・ベイズの定理応用形


こちらでベイズの定理を説明しましたが、この定理を使った逐次ベイズ推定の方法を説明します。

逐次ベイズ推定とは、情報が随時アップデートされる場合において、推定値もそれに合わせて更新していき 推定の精度を高めていくというものです。これは、リアルタイムでデータ処理する必要のある場合において非常に有効な方法となります。 またこの方法をベイズ更新(Bayesian updating)ともいいます。

具体的な方法は例題を使って説明していきます。
■例題
白と黒の玉がたくさん入っている箱が二つあり、これをY1、Y2と付けます。白と黒の玉が入っている比率は、Y1は2対1、Y2は1対2となっている。 これを目隠しでどちらか選び、箱の中から一つ玉を取り出す作業を3回行ったところ、黒、黒、白だった。これがY2の箱から取り出した確率は?



■回答
1回ずつ玉を引いた時点でY2から選んだ確率を推定していきます。式は以下のとおり。

<黒を引いた場合>


<白を引いた場合>


1回目(黒を引いた)



上記を(1)式に代入すると、



となります。これで最初の確率(事前確率)より、黒を引いたという情報を得た場合の確率(事後確率)の方が確率が上がっていることがわかります。

2回目(黒を引いた)
1回目と同様の計算をしますが、1回目と異なるのは1回目で求めた事後確率である「Y2である確率」が2回目の計算としては事前確率として扱います。 (1回目のYを選ぶ事前確率は1/2として扱いました)。



上記を(1)式に代入すると、



となり、1回目の時に比べ更に箱がY2である確率が高まりました。

3回目(白を引いた)
2回目と同様の計算ですが、今回は白を引いてますので若干計算が変わります。



(2)式に代入して


となり、2回目の時よりY2である確率が下がりました。この様に情報がアップデートされるたびに逐次推定を行うのが 逐次ベイズ推定というものになります。なお玉を引いたのが、白、黒、黒の順であったとしても最終的な答えは変わりません。 これを逐次合理性といいます。









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